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第一节 不定积分的概念和性质

原函数与不定积分的定义​

原函数​

如果在区间 II 上,可导函数 F(x)F(x) 的导函数为 f(x)f(x), 即对任意x∈Ix \in I 都有:

F′(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dxF^{\prime}(x)=f(x) \text { 或 } \mathrm{d} F(x)=f(x) \mathrm{d} x

那么函数 F(x)F(x) 就称为 f(x)f(x) 在区间 II 上的一个原函数.

【注】 原函数和导函数都是某个区间内才有的概念.

若 F(x)F(x) 是 f(x)f(x) 在区间 II 上的一个原函数, 则 f(x)f(x) 在区间 II 上的全体原函数是F(x)+CF(x)+C ( CC 是任意常数) .

不定积分​

在区间 II 上,称函数 f(x)f(x) 的所有原函数为其在区间上的不定积分,记作

∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C

其中 ∫\int 称为积分号, xx 称为积分变量, f(x)f(x) 称为被积函数, f(x)dxf(x) \mathrm{d} x 称为被积表达式, CC 为任意常数,称为积分常数.

已知 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x, 则(   ) 是 f(x)f(x) 的一个原函数

A. 1+sin⁡x1 +\sin x

B. 1−sin⁡x1 - \sin x

C. 1+cos⁡x1 + \cos x

D. 1−cos⁡x1 - \cos x

▶提示

求已知函数 f(x)f(x) 的原函数即求其不定积分 ∫f(x) dx\int f(x) \mathrm{~d}x, 亦可通过对各选项求导来验证.

▶答案

D

▶详解

【解】 根据原函数的定义, f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x 的原函数为

∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C.\int \sin x \mathrm{~d}x = -\cos x + C.

当常数 C=1C = 1 时, 原函数为 1−cos⁡x1 - \cos x.

也可用求导法逐个分析选项:

对于 A, (1+sin⁡x)′=cos⁡x(1 + \sin x)' = \cos x;

对于 B, (1−sin⁡x)′=−cos⁡x(1 - \sin x)' = -\cos x;

对于 C, (1+cos⁡x)′=−sin⁡x(1 + \cos x)' = -\sin x;

对于 D, (1−cos⁡x)′=sin⁡x=f(x)(1 - \cos x)' = \sin x = f(x).

由于只有 D 选项的导数等于 f(x)f(x), 故正确选项为 D.

[评注]

求一个函数的原函数即求其不定积分, 注意 sin⁡x\sin x 的原函数带负号, 勿与导数公式混淆.

不定积分的性质​

[∫f(x)dx]′=f(x)\left[\int f(x) \mathrm{d} x\right]^{\prime}=f(x) 或 d∫f(x)dx=f(x)dx\mathrm{d} \int f(x) \mathrm{d} x=f(x) \mathrm{d} x.

∫f′(x)dx=f(x)+C\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)+C 或 ∫df(x)=f(x)+C\int \mathrm{d} f(x)=f(x)+C.

∫[kf(x)±lg(x)]dx=k∫f(x)dx±l∫g(x)dx\begin{aligned} \int[kf(x) \pm l g(x)] \mathrm{d} x &= k \int f(x) \mathrm{d} x \pm l \int g(x) \mathrm{d} x \end{aligned}

(k,lk,l 为常数).

特别地, ∫dx=∫1dx=x+C\int \mathrm{d} x=\int 1\mathrm{d} x=x+C ;∫kdx=k∫dx=kx+C\int k \mathrm{d} x=k\int \mathrm{d} x=kx+C .

下列等式中正确的是 (   )

A. ∫f′(x) dx=f(x)\int f'(x) \mathrm{~d}x = f(x)

B. ∫df(x)=f(x)\int \mathrm{d}f(x) = f(x)

C.  d  dx ∫f(x) dx=f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int f(x) \mathrm{~d}x = f(x)

D. d∫f(x) dx=f(x)\mathrm{d} \int f(x) \mathrm{~d}x = f(x)

▶答案

C

▶详解

【解】 由导数与积分的定义及性质可知：  d  dx ∫f(x) dx=f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int f(x) \mathrm{~d}x = f(x)

故 C 正确.

...对于 A, B 选项, 不定积分的结果应包含任意常数 CC, 即: ∫f′(x) dx=f(x)+C,∫df(x)=f(x)+C\int f'(x) \mathrm{~d}x = f(x) + C, \quad \int \mathrm{d}f(x) = f(x) + C

对于 D 选项, 微分运算应保留微分符号 dx\mathrm{d}x, 即: d∫f(x) dx=f(x) dx\mathrm{d} \int f(x) \mathrm{~d}x = f(x) \mathrm{~d}x

已知 ∫f(x) dx=x3+sin⁡x+C\int f(x)\mathrm{~d}x = x^3 + \sin x + C, 求函数 f(x)f(x).

▶提示

本题考查不定积分与导数互为逆运算的关系, 对等式两边关于 xx 求导即可求出函数 f(x)f(x).

▶答案

f(x)=3x2+cos⁡xf(x) = 3x^2 + \cos x

▶详解

【解】 由于不定积分与求导互为逆运算, 故对等式两边关于 xx 求导, 得

f(x)=(x3+sin⁡x+C)′=3x2+cos⁡x.f(x) = (x^3 + \sin x + C)' = 3x^2 + \cos x.